zsh 環境で pyenv global 3.7.4 に設定しても反映されない

Macのターミナルでpyenv からPython3.7.4をインストールし、pyenv global でデフォルトに設定しようとしたものの2.7.16のままです。
下記の通り pyenv version で見てみるとセットされているようなのですが。

% pyenv version
3.7.4 (set by /Users/*******/.python-version)

OSをCatalinaにアップデートしているのでshellはzshなのですが、bashにするとpython3.7.4にちゃんとなります。ですがzshで使いたいので解決策が見つかりません。

追記

echo $PATH | perl -ple 's/:/\n/g;' の結果は以下の通りです。

/usr/local/bin /usr/bin /bin /usr/sbin /sbin /Library/Apple/usr/bin /Library/Apple/bin

zsh再起動後、Python 2.xが動いてしまうようです。

% cat ~/.zshrc  
% export PYENV_ROOT="$HOME/.pyenv" >> ~/.zshrc  
% export PATH="$PYENV_ROOT/bin:$PATH" >> ~/.zshrc  
% eval "$(pyenv init -)" >> ~/.zshrc  
% python -V  
Python 3.7.4  

再起動後

% python

WARNING: Python 2.7 is not recommended. 
This version is included in macOS for compatibility with legacy software. 
Future versions of macOS will not include Python 2.7. 
Instead, it is recommended that you transition to using 'python3' from within Terminal.

Python 2.7.16 (default, Aug 24 2019, 18:37:03) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 11.0.0 (clang-1100.0.32.4) (-macos10.15-objc-s on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
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