【PHP】PDOを使った異なるデータベースのテーブル結合方法

PDOクラスを利用した同一サーバー内にある異なるデータベースのテーブル結合の方法が分からず、、、お知恵を授けていただけますと嬉しいです。
開発言語はPHP、データベースはMYSQLです。

やりたきことは以下2つのテーブルのidをキーとして内部結合させ、member_nameとgroup_nameカラムを抽出したいです。

データベース名 / テーブル名
DB1 / table1
DB2 / table2

ここ↓↓の記述方法が間違っているとは思うのですが、正しい記述が分かりません。
$stmt=$dbh1-> prepare($sql);

プログラミング初心者のため、不足している情報などありましたら申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。

$dsn1 = 'mysql:dbname=DB1;host=localhost;charset=utf8';
$user1 = 'root';
$password1 = '******';

$dsn2 = 'mysql:dbname=DB2;host=localhost;charset=utf8';
$user2 = 'root';
$password2 = '******';

try{
  $dbh1 = new PDO($dsn1, $user1, $password1);
  $dbh1 -> setAttribute(PDO::ATTR_ERRMODE,PDO::ERRMODE_EXCEPTION);
  $dbh1 -> setAttribute(PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES,false);

  $dbh2 = new PDO($dsn2, $user2, $password2);
  $dbh2 -> setAttribute(PDO::ATTR_ERRMODE,PDO::ERRMODE_EXCEPTION);
  $dbh2 -> setAttribute(PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES,false);

  $sql=
    "SELECT tb1.member_name,tb2.group_name
     FROM DB1.table1 tb1
     INNER JOIN DB2.table2 tb2 ON tb1.id = tb2.id";
  $stmt=$dbh1-> prepare($sql);
  $stmt-> execute();

}catch(PDOException $Exception){
    print "エラー:".$Exception->getMessage();
}