laravelの初回リダイレクト時にセッションの値が保持されない

laravelでリダイレクト処理をした際にセッションが保持されません。
Laravel Framework 5.4.36 を利用しています。

以下のようなスクリプトを用意しました。

test1.php

class test1 extends Controller
{
  public function index()
    {
        Session::put('key','value');
        Session::save();
        header("Location: /test2");
        exit;
    }
}

test2.php

class test2 extends Controller
{
  public function index()
    {
        var_export(Session::all());
    }
}

コードにある通り
test1.phpはセッションの保存とtest2へのリダイレクト処理
test2.phpはセッションを表示する処理のスクリプトです。

ここから問題なのですが

1. 初回アクセス時にtest1.php　→　test2.php　と表示すると
   セッションが保持されておらず、
   test1.php で putしたセッションが表示されません。
2. 一方で、初回アクセス時にtest2.phpを一旦表示した後、
   test1.php　→　test2.php　と表示すると、
   test1.php で putしたセッションが表示されます。

１のケースでもセッションを保持するためにはどのようにすればよいでしょうか？