routes.phpでルートを設定していないURLへアクセスされた際、/views/errors/404.blade.phpを表示させようと思っていますが、
Controllerを通すことは可能でしょうか？

その404.blade.phpの中で、Controllerから渡した変数（例えばログインユーザ名の表示など）の表示をしたいです。