scriptコマンドを用いて10秒間のログを保存したい

scriptコマンドでログ取得を開始し、10秒後にexitしようとしています

#!/bin/sh    
script [ログファイル名]
screen /dev/tty.usbserial* 115200
sleep 10 ; exit

下記のような結果になってしまします。

Script started, output file is [ログファイル名]
bash-3.2$