シェルスクリプトをsudoしても環境変数を引き継ぎたい

$ echo $PATH
/usr/bin:/home/user1/bin
$ sudo echo $PATH
/usr/bin
$ sudo -E echo $PATH
/usr/bin:/home/user1/bin

こんなかんじだとします。
ここで、test.shに以下のように書き込んで

echo $PATH

実行すると、sudoの-Eオプションが効いてないように振る舞います。

$ sudo -E /bin/sh ./test.sh
/usr/bin

シェルスクリプト内にもsudo元ユーザの環境変数を引き継いでやりたいのですが、そういうことはできますか？
シェルスクリプトは定期的に更新されるような類のものなので、できればそちらは弄らずにコマンドを工夫する形でどうにかしたいです。

実行環境はubuntu 14.04.3 LTSの/bin/shです。