Androidアプリを開発しており、起動時にAjax通信を用いて
サーバーに置いてあるAPIを叩き、APIが出力したJSONを取得して
情報を処理しようとしています。

この時、サーバーに置いてあるAPIには外部からアクセスできないように
Basic認証をかけていますが、この認証に必要なIDとパスワードをどのように
アプリに持たせたらいいのでしょうか？

Androidは簡単にデコードしてソースが見れるとのことなので
IDとパスワードの直書きは論外としてもこの状態で
どうやって安全に通信するのかがわかりません・・・

なお、このアプリはログイン等を一切せずに、
通信も完全に見えない裏側で行う必要があります。
ですので「ユーザーには何もさせずに」というのが大前提になります。

--- 追記 ---

開発環境はMonacaを使用しており、HTML/Javascriptを使用したアプリです。
APIはPHPで作成し、WordPressの情報を取得・加工し返します。

目指す「安全性」は現時点ですと、とりあえず可能な限り高めておきたいという程度です。
というのも、今回サーバーに置いてあるAPIとは、入力を一切利用せず
特定のSELECTを行った結果を加工しJSONで返すだけの簡単な物です。
更に、その内容も個人情報や機密情報の類は一切扱っておりません。

個人的には、今はこれだけならあまり問題ないように思いますが
APIという口ができてしまう以上、今後の為にも極力安全な作りにしておきたい。
と思った次第です。