widthが指定された<input type="text">で作ったテキストボックスに、ある長さの文字列が入っているとして、「その文字列が全て見えているか（溢れていないか？）」をJavaScriptで判定したいです。

何か手段があるのでしょうか？
ちなみに、フォントは等幅ではないので、文字数による判定はできないです。

最終的にやりたいことは、「文字列が溢れている場合に限り、マウスを載せるとポップアップで内容を全て表示する」という機能です。