クリックした場所が、テキストの上かどうかを判別したい

ユーザがクリックした場所が、テキストの上かそうでないかを判定するにはどうしたらよいでしょうか。
（テキストの上、というのはマウスカーソルが | になっている状態のことを考えています）

例えば、以下のコードでクリックした位置の「要素」を取得することはできました。

document.addEventListener("mousedown", function(event){
    console.log(event.target);
}, true);

しかし、クリックしたのがテキストの上かどうかまで判別できませんでした。
event.target でテキストノード (#text) を取得できれば判別できそうでしたが、どうやっても <p> などの要素 (Element) しか取得できませんでした。

できれば、クリックする対象のHTMLを変更しないで実現したいと考えています。
どうすればテキストの上かそうでないかを判定できるでしょうか？