SSL証明されたディレクトリ配下にあるHTMLファイルでSSL証明が上手く適応できない

現在、あるWebサイトのコンテンツにて添付ファイルのように、
SSL証明が正常にあたらず警告となってしまう箇所があります。

SSL証明は適切に設定されており、同ドメインで違うディレクトリでは
正常にSSL証明があたっていることは確認できています。

なぜ、このメッセージが表示されてしまうのかGoogle Chromeの
Webサイト上→右クリックで「要素を検証」という機能があるので、
この機能を使って調べました。

そうしたら、

http://cse.google.com/coop/cse/brand

http://www.example.co.jp/example/general/404.html

という箇所がHTMLで使われていることが分かりました。
（両方ともhttpsがついていません）

上記が原因で、SSL証明が正しく働かないようです。

ただ、http://cse.google.com/coop/cse/brandというURLは
Webサイト全体で、グーグルの機能を使ってサイト内検索の窓に使用しております。

これをhttps://cse.google.com/coop/cse/brandというように、
グーグルのサイトだけれども、httpsにする方法はないでしょうか？

他に、http://www.example.co.jp/example/general/404.htmlの方も、
Webサイト全体で共通して使用しており、.htaccessで以下のように定義
してありました。

ErrorDocument 404 /example/general/404.html

上記の定義がhttpsの領域でも働いているようなのです。
上記の定義が働かず、かつhttps領域専用の404を働かすにはどのように
設定をすればよいでしょうか？

今回の質問はプログラミングの質問と若干離れていますが、現在行っている
プログラミングにも支障が出るので何とか解決したいです。

ご存知の方、ご教授よろしくお願い致します。

【開発環境】

SSL証明の警告