例えば

qwer
asdf
zxcv

と表示されているときに、qの位置でダブルクリックされたら0行目, dの位置でダブルクリックされたら1行目, などの情報を取得したいです。

LabelなどTextBlock風の見た目であればTextBlockでなくてもかまいません。ただし、行を跨いでドラッグした場合でもそれらが選択され、コピー可能である必要があります。