下記の例（情報源）を見た時に、jQuery.ajaxのurlパラメターとしてbladeテンプレートと同じように{{ }}表現を使っても良いと推測しました。

$.ajax({
  type: "POST",
  url : "{{ url('/api/login') }}",
  contentType: 'application/json',
  dataType: 'json',
  data: JSON.stringify({
    user   : user,
    passwd : passwd
  })
  :
});

Laravelは{{ url() }}というAJAX要求を理解しているなら、{{ route() }}も理解してくれると推測し、次のAJAX要求を制作してみました。

changeFragment(newFragment){

    let fragmentUrn = '{{ route( "admin.GetFragmentViaAjax", ["fragment" => "requests_all"]) }}';

    this.$MainContent.load(fragmentUrn, (response, status, xhr) => {
        status === 'success' ?  resolve() : reject(xhr);
    });
}

そのようにしてみますと、このようなエラーが出ます：

問題は完全にJavaScriptの側にあるようです。